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수학데이

미적분 기본정리 — 넓이를 쌓으면 왜 원래 함수가 될까?

위: 곡선 f(x)와 [a→x] 넓이  |  아래: 그 넓이를 모은 함수 A(x)  ·  A의 기울기 = f의 높이

위 그래프 — 파란 곡선 f(x) 아래, 시작 a부터 현재 x까지의 넓이를 색칠. f>0이면 파랑(+), f<0이면 빨강(−). 청록 세로 막대 = 지금 위치의 높이 f(x).
아래 그래프 — 넓이함수 A(x)=∫ax f(t)dt (위에서 색칠한 넓이를 세로값으로 옮긴 것). a에서 0부터 시작해 점점 쌓임. 청록 접선 = A의 기울기 — 이 기울기가 위 그래프의 청록 높이 f(x)와 항상 같다.

함수 f(x) 고르기

넓이를 쌓을 곡선을 고른다. 각 함수는 정확한 원시함수 F를 알고 있어 넓이·기울기를 정확히 계산한다.

슬라이더

▶를 누르면 x가 오른쪽으로 미끄러지며 아래 A(x) 곡선이 그려진다. 넓이가 쌓이는 만큼 A가 올라가고, f<0인 곳에선 A가 내려간다.

지금 값

피적분함수 높이 f(x)
넓이함수 A(x)=F(x)−F(a)–
A(x)의 기울기 (수치)
원시함수 F(x)–
미적분 기본정리 (1부)
A′(x) = – = f(x) = –
넓이함수를 미분하면 원래 함수!

대표 상황 (프리셋)

왜 그럴까?

x를 아주 조금(dx) 늘리면 넓이는 세로 f(x) × 가로 dx 만큼 늘어난다. 그래서 넓이의 변화율(=기울기) = f(x). 이것이 미적분 기본정리 1부.

2부: a부터 b까지 쌓인 전체 넓이 = A(b) = F(b) − F(a). 원시함수 F만 알면 넓이를 뺄셈 한 번으로 구한다.

관찰 포인트: f가 0을 지나 부호가 바뀌는 곳에서 A는 봉우리(극대)나 골짜기(극소)가 된다 — 기울기(=f)가 0이 되니까!