부채꼴 — 중심각과 호·넓이의 비례
부채꼴은 원을 피자처럼 자른 한 조각이에요. 중심각 θ가 원 한 바퀴(360°)에서 차지하는 비율만큼 호길이와 넓이가 정해집니다. 중심각을 2배로 하면 호와 넓이도 딱 2배가 되는 것을 슬라이더로 확인해 보세요.
호길이 ℓ = 2πr × θ/360
·
넓이 S = πr² × θ/360
🔎 지금 이 부채꼴
비율 θ/360
원에서 차지하는 조각
120 / 360
0.333
호길이 ℓ
2πr × (θ/360)
2π·5 × ⅓
10.47
넓이 S
πr² × (θ/360)
π·25 × ⅓
26.18
원 둘레 2πr = 31.42
원 넓이 πr² = 78.54
📐 중심각에 따른 비교 (반지름 r=6 기준)
| 중심각 θ | 비율 θ/360 | 호길이 ℓ | 넓이 S |
|---|
| 30° | 1/12 | π | 3π |
| 60° | 1/6 | 2π | 6π |
| 90° | 1/4 | 3π | 9π |
| 120° | 1/3 | 4π | 12π |
| 180° | 1/2 | 6π | 18π |
| 360° | 1 (원 전체) | 12π | 36π |
중심각이 2배·3배가 되면 호길이와 넓이도 똑같이 2배·3배가 됩니다 (반지름이 같을 때). 이것이 "중심각과 호·넓이는 비례한다"는 뜻이에요.
정리
θ/360 부채꼴은 원 한 바퀴(360°) 중 θ가 차지하는 비율만큼의 조각입니다.
호길이 ℓ = 2πr × (θ/360) 원 둘레(2πr)에서 그 비율만큼.
넓이 S = πr² × (θ/360) 원 넓이(πr²)에서 그 비율만큼.
중심각 θ 만 키우면(반지름 고정) 호와 넓이가 같은 비율로 커집니다 → 비례.
연결 공식: 넓이 = ½ × 반지름 × 호길이, 즉 S = ½ r ℓ 이 항상 성립합니다. (밑변이 호(ℓ), 높이가 반지름(r)인 "휜 삼각형"으로 생각하면 쉬워요.)