사차함수 y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e — 극점(최대 3개)·x절편(최대 4개)

a의 부호가 그래프 양끝 방향을 정합니다(a>0이면 양끝이 위로 ↑↑, W·U자). 굽이치는 극대·극소는 도함수 y′=4ax³+3bx²+2cx+d(3차식)가 0이 되는 곳으로, 최대 3개 생겨요. 아래 프리셋 버튼으로 대표 모양을 먼저 보고, 슬라이더로 미세 조정하세요. y축 눈금은 자동으로 조절됩니다.

👇 먼저 눌러보세요 (대표 모양)

a=1b=0 c=−5d=0 e=4

① a (양끝 방향·굽이 세기, x⁴) ② b (좌우 비대칭, x³) ③ c (가운데 오목/볼록, x²) ④ d (기울임, x) ⑤ e (위아래 평행이동·y절편)

y′(도함수·3차) 함께 보기 — 청록

🟣 극점(최대 3개) 🔴 x절편(최대 4개) 🟢 y절편

y절편 (0, e)

—

x절편(실근) — y=0 인 x

—

📋 값 표 (y = a·x⁴ + b·x³ + c·x² + d·x + e)

x	ax⁴	bx³	cx²	dx	e	y = 합

정리

a — 양끝 방향 a>0: 양끝이 위로(↑↑, W·U자). a<0: 양끝이 아래로(↓↓, M·∩자). |a|가 클수록 가파릅니다.
극대·극소 도함수 y′=4ax³+3bx²+2cx+d 는 3차식이라 근이 1개 또는 3개 → 극점도 최대 3개. W자는 (극소–극대–극소), M자는 (극대–극소–극대).
x절편(근) y=0인 x. 4차는 실근이 0·1·2·3·4개 중 하나. 부호변화 구간을 이분법으로 좁혀 수치로 찾습니다.
짝함수 대칭 b=0 그리고 d=0 이면 홀수차항이 없어 y축 대칭(짝함수). 이때 극점·근이 좌우 대칭으로 나옵니다.