각 α 만큼 돌린 다음 다시 β 만큼 더 돌리면, 단위원 위의 점은 각 α±β 자리에 옵니다. 그 점의 좌표가 바로 cos(α±β), sin(α±β) 예요. 이 좌표를 파란 벡터(방향은 OA, 길이는 cosβ)와 주황 벡터(OA에 수직, 길이는 sinβ) 둘로 쪼개면 덧셈정리 공식의 두 항이 그대로 보입니다. 슬라이더로 α·β를 바꾸며 공식이 왜 성립하는지를 좌표로 확인해 보세요.
파란 벡터 u 는 OA 방향(각 α)으로 길이 cosβ — 그 가로·세로가 cosα·cosβ, sinα·cosβ. 주황 벡터 v 는 OA에 수직으로 길이 sinβ — 그 가로·세로가 ∓sinα·sinβ, ±cosα·sinβ. 두 벡터를 더하면 점 P(각 α±β)에 정확히 닿고, 그 세로=sin(α±β), 가로=cos(α±β) 가 됩니다. 이게 공식이 성립하는 이유예요. tan 은 분모 1∓tanα·tanβ = 0 이 되는 각(예: 45°+45°=90°)에서 정의되지 않아요(점근선).