삼차함수 y = ax³ + bx² + cx + d — 극점·변곡점·x절편

a의 부호가 그래프 끝 방향을 정하고(양수면 왼쪽 아래→오른쪽 위 ↗), 굽이치는 극대·극소는 도함수 y′=3ax²+2bx+c가 0이 되는 곳입니다. 가운데 변곡점에서 볼록/오목이 바뀌어요. y축 눈금은 그래프가 화면을 벗어나지 않도록 자동으로 조절됩니다.

a=1b=0 c=−3d=0

① a (끝 방향·굽이 세기) ② b (좌우 비대칭·변곡점 이동) ③ c (기울기·극점 유무) ④ d (위아래 평행이동·y절편)

y′(도함수) 함께 보기 — 청록 변곡점 접선 보기

🟣 극점 🟠 변곡점 🔴 x절편 🟢 y절편

극대 (위 봉우리)

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극소 (아래 골)

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변곡점 x=−b/3a

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y절편 (0, d)

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x절편(실근) — y′ 판별식

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📋 값 표 (y = a·x³ + b·x² + c·x + d)

x	ax³	bx²	cx	d	y = 합

정리

a — 끝 방향 a>0: 왼쪽 아래→오른쪽 위(↗), a<0: 왼쪽 위→오른쪽 아래(↘). |a|가 클수록 가파르고 굽이가 뚜렷.
극대·극소 도함수 y′=3ax²+2bx+c의 두 근에서 생깁니다. 판별식 b²−3ac > 0이면 극점 2개(봉우리+골), ≤ 0이면 극점이 없어 단조증가/감소.
변곡점 y″=6ax+2b=0 → x=−b/3a. 여기서 볼록↔오목이 바뀌고, 3차 그래프는 이 점을 중심으로 점대칭입니다.
x절편(근) y=0인 x. 3차는 실근이 1개·2개(중근)·3개 중 하나. 이 자료는 부호변화 구간을 이분법으로 좁혀 수치로 찾습니다.