원의 성질 — 원주각과 중심각
원 위 두 점 AB 를 원의 중심 O에서 본 각이 중심각, 원 위의 다른 점 P에서 본 각이 원주각이에요. 슬라이더로 확인해 보세요 — 원주각은 언제나 중심각의 딱 절반, 그리고 P를 호 위 어디로 옮겨도 원주각은 그대로입니다.
🔎 지금 이 그림의 두 각
중심각 ∠AOB
중심 O에서 본 각
호 AB에 대응
120°
원주각 ∠APB
원 위 P에서 본 각 (좌표에서 실측)
벡터 PA·PB로 계산
60°
½ × 중심각
이론값 (원주각과 일치해야)
이론값
60°
📐 중심각에 따른 원주각 (P가 큰 호 위일 때)
| 중심각 ∠AOB | 원주각 ∠APB | 메모 |
|---|
| 60° | 30° | 절반 |
| 90° | 45° | 절반 |
| 120° | 60° | 절반 |
| 150° | 75° | 절반 |
| 180° | 90° | 반원=지름 → 직각! |
중심각이 커지면 원주각도 같은 비율로 커지되 항상 절반입니다. 특히 중심각 180°(=지름)면 원주각은 90°(직각) — 이것이 "반원에 대한 원주각은 직각"(탈레스 정리)이에요.
정리
중심각 ∠AOB 원의 중심 O에서 두 점 A, B를 본 각.
원주각 ∠APB 원 위의 또 다른 점 P에서 같은 두 점 A, B를 본 각.
원주각 = ½ × 중심각 같은 호(AB)를 바라볼 때 원주각은 언제나 중심각의 절반입니다.
같은 호의 원주각은 모두 같다: P를 호 위 어디로 옮겨도(P′) 원주각 크기는 변하지 않아요 (모두 ½θ).
반원에 대한 원주각은 직각: A, B가 지름의 양 끝(중심각 180°)이면 원주각은 항상 90°입니다.
작은 호 위 P 반대로 P가 작은 호 위에 있으면 큰 호(360°−θ)를 바라보므로 원주각 = 180° − ½θ (큰 호 쪽 원주각과 보각) 이 됩니다.