이차곡선 포물선 — 초점으로 이해하기

포물선·타원·쌍곡선은 모두 초점(focus)까지의 거리로 정의됩니다. 포물선은 초점과 준선에서 같은 거리, 타원은 두 초점까지 거리의 합이 일정, 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차가 일정. ▶ 재생으로 점 P를 움직이며, 슬라이더로 모양이 어떻게 변하는지 관찰하세요.

점 P 굴려보기

p=1

초점거리 p (초점 F(0,p), 준선 y=−p) ↔ 점 P 위치 (x좌표)

a=4b=3

a (x방향 반지름 = 가로 반지름) b (y방향 반지름 = 세로 반지름) ↻ 점 P 위치 (각도 θ)

a=3b=2

a (꼭짓점 (±a,0) — x축과 만나는 곳) b (점근선 기울기 = b/a) ↔ 점 P 위치 (t)

지금 이 순간 — 점 P에서

정리 — 세 곡선의 정의(초점)

포물선 한 초점 F와 한 준선에서 같은 거리인 점들. |PF| = (준선까지 거리). 이심률 e=1. 접시안테나·자동차 헤드라이트가 이 원리예요.
타원 두 초점까지 거리의 합이 일정(=장축 길이 2a). r₁+r₂ = 2a. 납작할수록 초점이 멀어지고 이심률 0<e<1. 원은 두 초점이 겹친 특수한 타원(e=0).
쌍곡선 두 초점까지 거리의 차가 일정. |r₁−r₂| = 2a. 멀리 가면 점근선 y=±(b/a)x 에 한없이 가까워지고 이심률 e>1.
※ 세 곡선 모두 c로 초점 위치가 정해집니다 — 타원 c=√(a²−b²), 쌍곡선 c=√(a²+b²), 포물선은 초점거리 p. 이심률 e = (초점까지)÷(기준 거리)로 곡선의 "벌어진 정도"를 나타내요.