접선의 기울기 — 평균변화율에서 순간변화율(미분)로

두 점을 지나는 할선의 기울기가 바로 평균변화율 = ΔyΔx 입니다. 두 점 사이 간격 h(=Δx)를 0에 가깝게 줄이면, 할선은 한 점에서 접하는 접선으로 바뀌고, 그 기울기가 순간변화율 = 도함수 f′(x₀) 입니다. 아래에서 x₀(접점)와 h를 움직여 직접 확인해 보세요. ▶ h→0 재생을 누르면 할선이 접선으로 미끄러져 붙는 걸 볼 수 있어요.

x₀=1 h=1

① x₀ — 접점의 위치 (보라 ●) ② h = Δx — 두 점 사이 간격 (주황 ●까지)

접선(순간변화율) 항상 보기 — 청록 Δx·Δy 직각삼각형 보기

🟠 할선(평균변화율) 🔵 접선(순간변화율=도함수)

Δx = h

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Δy = f(x₀+h) − f(x₀)

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평균변화율 (할선 기울기)

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순간변화율 f′(x₀) (접선)

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두 기울기 차이

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정리 — "평균변화율"에서 "순간변화율"로

평균변화율 두 점 (x₀, f(x₀)) 와 (x₀+h, f(x₀+h)) 를 잇는 할선의 기울기 = Δy/Δx = (f(x₀+h)−f(x₀)) / h. 구간 전체의 "평균" 변화 속도예요.
순간변화율 h를 0으로 보내는 극한: f′(x₀) = lim_h→0 (f(x₀+h)−f(x₀))/h. 이게 바로 그 점에서의 접선의 기울기이자 미분(도함수)입니다.
관찰 포인트 h가 클수록 할선은 접선에서 멀어지고(평균), h가 0에 가까울수록 할선이 접선에 포개집니다. 두 기울기 차이가 0으로 줄어드는 걸 값 표에서 확인해 보세요.
※ 왜 h=0은 안 될까? h=0이면 Δy/Δx = 0/0 이라 계산이 안 됩니다. 그래서 "0으로 보내는 극한"으로 정의해요. 이 자료는 h를 아주 작게(≈0) 줄여 그 극한을 눈으로 보여줍니다.