판별식과 근의 개수 — D = b² − 4ac 로 x축 교점을 센다
이차함수 y = ax² + bx + c 의 그래프가 x축과 몇 번 만나는지는 근의 공식을 다 풀지 않아도 판별식 D=b²−4ac 의 부호만 보면 압니다. 슬라이더로 계수를 바꾸며 D가 0을 넘나들 때 교점이 생기고·겹치고·사라지는 것을 관찰하세요.
🎯 지금 그래프는 x축과 몇 번 만날까?
근 2개
◀ D < 0 : 근 없음
D > 0 : 근 2개 ▶
🔻
−80D=0 (중근)+80
🟣 왜 부호만 보면 될까? — 꼭짓점의 높이와 판별식
꼭짓점 높이 q = c − b²/4a = −D/(4a). 그래서 D의 부호가 곧 꼭짓점이 x축의 위/위에 걸침/아래 중 어디에 있는지를 정하고, 그것이 교점 개수를 정합니다.
한눈에 보는 정리
판별식 D = b² − 4ac 의 부호가 x축과의 교점(=실근) 개수를 정합니다.
D > 0 서로 다른 두 점에서 만남 → 근 2개
D = 0 한 점에서 접함(꼭짓점이 x축 위) → 중근 1개
D < 0 x축을 지나지 않음 → 실근 없음
연결 꼭짓점 높이 q = −D/(4a) 라서, D의 부호는 곧 꼭짓점이 x축의 어느 쪽에 있는지입니다.