함수의 극한과 연속 — 왼쪽에서 다가갈 때 vs 오른쪽에서 다가갈 때
극한은 "그 점에 도착했을 때의 값"이 아니라 다가갈 때 값이 어디로 몰리는가입니다. 그래서 왼쪽에서 다가간 값(좌극한)과 오른쪽에서 다가간 값(우극한)을 따로 봅니다. 둘이 같으면 극한이 존재하고, 그 극한값이 f(a)와도 같아야 비로소 연속입니다. 아래에서 a(어느 점을 볼지)와 δ(얼마나 가까이 다가갈지)를 움직여 보세요. ▶ δ→0 재생을 누르면 양쪽에서 좁혀 들어갑니다.
🔵 왼쪽에서 다가간 값 🟣 f(a) 실제 함숫값 🔴 오른쪽에서 다가간 값
| δ | x = a−δ | f(a−δ) 좌 | x = a+δ | f(a+δ) 우 |
|---|
δ를 줄이면 두 열의 값이 각각 좌극한·우극한으로 몰려갑니다. 두 값이 같은 수로 몰리면 극한이 존재하고, 서로 다른 수로 몰리거나 끝없이 커지면 극한은 없습니다.
정리 — 연속의 3조건과 불연속의 종류
좌극한 x가 a보다 작은 쪽에서 a로 다가갈 때 f(x)가 몰려가는 값. 기호로 limx→a⁻ f(x).
우극한 x가 a보다 큰 쪽에서 다가갈 때 몰려가는 값. limx→a⁺ f(x).
극한의 존재 좌극한 = 우극한일 때만 극한 limx→a f(x)가 존재합니다. 이때 f(a)가 무슨 값인지는 상관없습니다 — 극한은 "다가가는 이야기"라서 그 점 자체는 쳐다보지 않아요.
연속의 3조건 ① f(a)가 정의됨 ② 극한이 존재(좌=우) ③ 극한값 = f(a). 셋을 모두 만족해야 x=a에서 연속입니다.
불연속의 종류 (위 버튼으로 하나씩 확인해 보세요)
· 구멍(제거가능) — y=(x²−1)/(x−1): x≠1이면 약분돼 x+1이지만 x=1에서는 0/0이라 정의가 안 됩니다. 극한은 2로 멀쩡히 있는데 ①이 깨져요. 그래프에 ○(빈 점)으로 표시됩니다.
· 극한≠함숫값 — f(1)=−1로 억지로 정해 둔 경우. ①②는 되는데 ③이 깨집니다. 구멍을 잘못 메운 셈이라 이것도 제거가능 불연속이에요.
· 점프(도약) — 왼쪽은 2로, 오른쪽은 0으로 몰려가서 좌≠우. ②가 깨져 극한 자체가 없습니다. 가우스 기호 ⌊x⌋는 정수마다 이런 점프가 생겨요.
· 무한 불연속 — y=1/(x−1)은 왼쪽에서 −∞, 오른쪽에서 +∞로 발산합니다. y=1/(x−1)²은 양쪽 다 +∞인데, 값이 한 수로 몰리는 게 아니라 무한히 커지는 것이므로 이 역시 "극한이 없다(발산한다)"고 말합니다.
※ 헷갈리기 쉬운 점 "극한이 있다 = 연속이다"가 아닙니다. 구멍 예시처럼 극한은 있는데 연속이 아닌 경우가 있어요. 반대로 연속이면 극한은 반드시 있고, 그 값은 f(a)와 같습니다.